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Como calcular a idade do universo com a velocidade e a distância das galáxias usando a lei de Hubble 🌌

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Como calcular a idade do UNIVERSO 🌌

Neste trabalho, me dedico a mostrar a vocês como cheguei a uma estimativa da idade do universo usando a lei de Hubble, dados sobre galáxias e Python!

Obs

Devo resaltar que não sou um físico, muito menos um astronomo, então as informações citadas nesse trabalho estão sujeitas a erros de interpretação ou por simplificação.

Introdução

Há muito tempo atrás um astrônomo chamado Edwin Powell Hubble (sim, o mesmo nome do telescópio espacial Hubble) percebeu que ao observar as galáxias, as mesmas estavam se afastando. Não só isso, mas ele percebeu que as galáxias mais longe estavam se afastando mais rapidamente e as mais próximas estavam se afastando mais lentamente. Com isso, ele percebeu que havia uma relação linear positiva entre a distância e velocidade das galáxias e nomeou este fenômeno como Lei de Hubble.

Info

https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Hubble

image

Logo se obtermos a velocidade e a distância das galáxias, podemos calcular essa relação linear.
Como obter os dados?
Através do HypeLeda, um site que armazena um grande banco de dados sobre altas informações relacionadas a galáxias e cosmologia.

Info

http://leda.univ-lyon1.fr/intro.html

Obtenção dos dados

Se você possui familiaridade com SQL, então o site é uma mão na roda. Podemos pegar apenas as variáveis que queremos (em vez de baixar o banco de dados todo), através de consultas feitas diretamente no próprio site, insano!!
As informações sobre a separação dos dados e sobre a consulta se encontram a baixo, mas se possuir dificuldades, o banco de dados também se encontra no repositório.

Info

http://leda.univ-lyon1.fr/fullsql.html Peguei de todas as galáxias (objtype='G') as variaveis velocidade (v3k) que estão entre 3000<v3k<30000 e o módulo da distâncida (mod0) Info das variaveis: http://leda.univ-lyon1.fr/leda/meandata.html SELECT v3k, mod0 WHERE (objtype='G') AND (v3k>3000) AND (v3k<30000) AND (mod0 IS NOT NULL) AND (v3k IS NOT NULL) Consulta: http://leda.univ-lyon1.fr/fG.cgi?n=meandata&c=o&of=1,leda,simbad&nra=l&nakd=1&d=v3k%2C%20mod0&sql=(objtype%3D%27G%27)%20AND%20(v3k>3000)%20AND%20(v3k<30000)%20AND%20(mod0%20IS%20NOT%20NULL)%20AND%20(v3k%20IS%20NOT%20NULL)&ob=&a=html 

import pandas as pd                                                                                      
data= pd.read_csv('C:/Users/Neo/Desktop/leda.csv', delimiter=";")
data
#se quiser refazer a estimativa usando uma amostra aleatória de uns 80% dos dados
#data = data.sample(n = 1133)

Com esses dados, temos:

VELOCIDADE RADIAL (cz)
Em relação à radiação CMB

Info

https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_radial

MÓDULO DA DISTÂNCIA (mod0)
A diferença entre a magnitude aparente (m) e a magnitude absoluta (M) de um objeto astronômico.

Info

https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Luminosity_distance?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=pt&_x_tr_hl=pt-BR&_x_tr_pto=sc

Medidas e Conversões

Agora que temos os dados, podemos realizar os próximos passos, mas nem de longe isso foi trivial.
Primeiramente temos o módulo da distância (diferença entre a magnitude aparente (m) e a magnitude absoluta (M) de um objeto astronômico = m-M) e não a distância de luminosidade (essa que precisamos)

image

Info

https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Luminosity_distance?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=pt&_x_tr_hl=pt-BR&_x_tr_pto=sc 

Dl=10**((data['mod0']/5)+1 )

Entretanto, só isso vai nos dar uma estimativa meio imprecisa, pois essa formula é boa para calcularmos distâncias na nossa galáxia, mas para objetos distantes além da Via Láctea, outros fatores influenciam na medição como a curvatura do espaço-tempo , desvio para o vermelho e dilatação do tempo.

Nesse caso, vamos só considerar o desvio para o vermelho e o resto vamos desconsiderar.

DESVIO PARA O VERMELHO (z)
Dado que:
v é a componente radial de velocidade em relação a fonte e o observador.
c é a velocidade da luz no vácuo (299792458 m/s. Logo, para Quilômetros: 299792.458 km/s).

image

Info

https://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_para_o_vermelho https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_da_luz 

z = data["v3k"]/299792.458

Agora que temos o desvio (z) e a distância de luminosidade (Dl), podemos calcular a Distância de movimento mexendo um pouco na equação.

DISTÂNCIA DE MOVIMENTO (Dm)

image

Info

https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Distance_measures_(cosmology)?_x_tr_sl=auto&_x_tr_tl=pt&_x_tr_hl=pt-BR http://leda.univ-lyon1.fr/leda/param/modz.html 

#Se  
#Dl = (1+z)*Dm
#Logo
Dm = Dl/(1+z)

Só um último detalhe, a distância está em Parsec (Pc) que é um tipo de distância usada para medir distâncias de objetos astronômicos, logo, precisamos converter isso para Quilômetros (Km).
1Pc = 30856775812800km

Info

https://pt.wikipedia.org/wiki/Parsec https://www.unitconverters.net/length/parsec-to-kilometer.htm 

Dm = Dm * 30856775812800

Criando a regressão linear

Certo, um rápido resumo sobre regressão linear. Dado que temos duas variáveis y (variável explicada/dependente) e x (variável explicativa/independente) queremos saber o valor esperado de um y dado um x, para explicar essa relação, usamos a equação:

image

Sendo o alfa o coeficiente linear, o beta o coeficiente angular, e o epslion sendo o erro de medição

Info

https://pt.wikipedia.org/wiki/Regressão_linear

No nosso caso, queremos explicar a velocidade(y) de uma galáxia dada a sua distância(x), entretanto, sem usar o coeficiente linear (e nem o erro).

Portanto, a equação ficaria:

y = bx

Para quem prestou atenção até aqui, podemos comparar essa equação com a equação de Hubble. Temos quase tudo, menos o coeficiente angular.

from scipy.optimize import curve_fit
def lin(x, b):
    return b * x
#OBS: y = b*x 
#não possuimos o intercept(coeficiente linear) apenas o slope(coeficiente angular)
coeff, cov= curve_fit(lin,Dm,data["v3k"])
#o melhor slope para a regressão sem intercept:
b = coeff[0]
b 
#2.2404792510504406e-18

Agora podemos visualizar a relação entre velocidade e distância das galáxias com a reta calculada.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x=np.array(Dm)#Distância
y=np.array(data["v3k"])#Velocidade

#Rode tudo junto#
plt.scatter(x,y)
plt.title('Relação linear entre distância e velocidade')
plt.xlabel('DISTÂNCIA DE MOVIMENTO')
plt.ylabel('VELOCIDADE RADIAL')
f = lambda x: b*x #OBS: y = b*x 
plt.plot(x,f(x), c="red", label="fit line between min and max")
#Rode tudo junto#

image

Conclusão

Portanto, utilizando a Lei de Hubble
v = H0 * d
onde:
v – velocidade
H0 – constante de Hubble
d – distância

E a re-escrevendo da seguinte forma:
v = H0 * d
1 = (H0 * d)/v
1/H0 = d/v

E utilizando uma relação muito interessante na fisica entre distância, velocidade e tempo.
Tempo = Distancia / Velocidade
t = d/v

Temos que o inverso da constante de Hubble (o inverso do coeficiente angular) vai expressar o tempo da equação.

Info

https://pt.wikibooks.org/wiki/Introdução_à_física/Cinemática/Velocidade

y = b * x
onde:
y – velocidade radial
b – coeficiente de inclinação
x – distância de movimento

y = b * x
1 = (b * x)/y
1/b = x/y

Logo, dada uma linha de regressão simples, se você tiver d e v (definir o intercept para 0), o inverso da inclinação será o tempo em segundos.
Com isso podemos calcular o tempo de existência do universo em segundos, como mostrado na equação da lei de Hubble.

#O tempo do UNIVERSO em segundos
Tempo_em_seg = (1/b)
Tempo_em_seg
#4.463330778587455e+17

Por fim, para calcularmos quantos anos o universo tem, é só convertemos os segundos para minutos, minutos para horas, horas para dias e dias para anos.

#A idade do UNIVERSO em anos
ANOS = ((((Tempo_em_seg / 60)/ 60)/ 24)/ 365)
"{:,}".format(int(ANOS))
#14,153,129,054

Portanto, pela minha estimativa o universo possui…. 🎉14 153 129 054 anos!🎉
E não acaba por aqui, você mesmo pode calcular sua própia estimativa! usando esse código e o banco de dados do leda!

Agradecimentos

Primeiramente ao Hubble por ter feito isso e muito mais em uma época que certamente era mais complicado sem as ferramentas atuais.

Ao Rasmus Groth (bliiir) https://towardsdatascience.com/give-or-take-a-billion-years-32fb9305ca86
Pois isso tudo é praticamente uma releitura em português do trabalho que ele fez, com algumas adições de explicações e alterações nas conversões.

Aos sites http://leda.univ-lyon1.fr/intro.html pelos dados e https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikipédia pelas informações.

E por ultimo e não menos importante, a você que leu até aqui, muitissimo obrigado!